변위
물리학에서 운동은 시공간의 한 점에서 다른 점으로 움직이며 물체의 변위를 동반합니다. 운동을 나타내기 위해선 특정한 점과 좌표계가 있어야 하며 어떠한 양을 측정하기 위해 시작점을 정의할 수 있는 좌표축을 선정할 수 있어야 합니다.
따라서 물체의 변위 $\Delta x$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\Delta x \equiv x_{2} - x_{1}$
$x_{1}$은 물체의 처음 위치이며, $x_{2}$는 물체의 나중 위치입니다.
변위는 속도, 가속도처럼 크기와 방향을 가지고 있으므로 벡터로 표시되는 물리량입니다. 또한 변위는 물체가 이동한 거리와는 다른 의미를 가지고 있습니다. 예를 들어, 농구공을 위로 던져 10m의 높이를 올라갔다가 바닥으로 떨어진다면 이동한 거리는 20m가 되지만 변위는 0입니다.
일반적으로 온도나 질량 같은 스칼라양은 방향은 없고 크기만 가지며 벡터양은 크기와 방향 모두를 가집니다.
속도
일상에서 우리는 속도와 속력에 관하여 큰 구분 없이 사용하고 있습니다. 하지만 물리에서 속도는 크기와 방향을 모두 가지는 벡터양이고 속력은 크기만을 가지는 스칼라양입니다.
만약 우리가 50km 떨어진 곳에 한 시간 내에 가야 한다면 자동차를 50km/h로 운전하는 것뿐만 아니라 올바른 방향으로 운전하는 것도 중요하기 때문에 속도를 벡터로 표현합니다.
주어진 시간 동안 물체의 평균 속력은 움직인 거리를 걸린 시간으로 나눈 것이므로
평균 속력 $\equiv$ 움직인 거리 / 걸린 시간이고 SI 단위는 m/s입니다.
또한 기호로 $v=d/t$로 나타낼 수 있으며 $v$는 평균 속력, $d$는 움직인 거리, $t$는 걸린 시간을 나타냅니다. 평균 속력과 달리 평균 속도는 크기와 방향을 모두 가지고 있는 벡터양입니다.
만약 자동차가 처음 위치 $x_{1}$에 있을 때 시간을 $t_{1}$, 이후 위치 $x_{2}$에 있을 때 시각을 $t_{2}$라 한다면 이 자동차의 변위 $\Delta x=x_{2}-x_{1}$이므로 시간 간격 $\Delta t$ 동안 평균 속도 $\overline{v}\equiv \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$이고 SI 단위는 m/s입니다.
또한 항상 양의 값만 가지는 평균 속력과 달리 1차원에서 물체의 평균 속도는 변위의 부호에 따라 양의 값이거나 음의 값일 수도 있습니다.
순간 속도
평균 속도는 시간 간격 동안 자동차에 어떠한 일이 일어났는지에 대해 상세하게 알지 못합니다. 따라서 순간 속도를 결정하는 것은 어느 한순간 자동차의 속력과 방향입니다. 따라서 순간 속도 $v=\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$이고 SI 단위는 m/s로 나타낼 수 있으며 시간 간격이 작아질수록 평균 속도는 점차 순간 속도에 가까워집니다. 물체의 순간 속력은 스칼라양이기 때문에 순간 속도의 크기로 정의됩니다.
가속도
시간에 따라 속도가 변하는 것을 가속도라고 하고 시각 $t_{1}$일 때 속도가 $v_{1}$이고, 시각 $t_{2}$일 때 속도가 $v_{2}$라면 시간 간격 $\Delta t$ 동안의 평균 가속도 $\overline{a}\equiv \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}$이고 SI 단위는 m/$s^{2}$입니다.
가속도는 길이를 시간의 제곱으로 나눈 차원을 가지는 벡터양입니다. 직선 운동일 경우, 물체의 속도와 가속도가 같은 방향이라면 시간이 증가하며 물체의 속력이 증가합니다. 하지만 물체의 속도와 가속도가 반대 방향이라면 시간이 감소할수록 물체의 속력도 감소합니다.
순간 가속도
순간 속도와 마찬가지로 순간 가속도 또한 존재합니다. 순간 가속도 $a\equiv \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}$이며 SI 단위는 m/$s^{2}$입니다.
일차원 일정 가속도 운동
물체가 일정한 가속도로 움직일 때 시간 간격의 어느 한 점에서 순간 가속도는 전체 시간 간격에 대한 평균 가속도와 같습니다.
가속도 $a$가 일정할 때 평균 가속도는 순간 가속도와 같으므로 앞에서 정의한 평균 가속도 $\overline{a}$에서 평균을 나타내는 '-'를 생략하고 $a=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}$로 나타낼 수 있습니다.
또한 관측자는 운동 시간을 자유롭게 선택할 수 있으므로 임의의 시각에 $t_{1}=0$과 $t_{2}$를 정할 수 있고 $v_{1}=v_{0}$($t$=0에서의 속도)와 $v_{2}=v$(임의의 시각 $t$에서의 속도)로 정할 수 있으므로 $a=\frac{v-v_{0}}{t}$
즉, (1)$v=v_{0}+at$ ($a$가 일정한 경우)로 나타낼 수 있습니다.
속도는 시간에 따라 균일하게 증가 또는 감소하므로 어떠한 시간 간격에 대한 평균 속도는 처음 속도와 나중 속도의 평균인 $\overline{v}=\frac{v_{0}+v}{2}$ ($a$가 일정한 경우)로 나타낼 수 있습니다.
다시 이 식을 평균 속도에 대한 식과 함께 사용하면 (2)$\Delta x=\frac{1}{2}(v_{0}+v)t $ ($a$가 일정한 경우)라는 식을 얻을 수 있고 여기에 식(1)을 대입하면 $\Delta x=v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}$ ($a$가 일정한 경우)를 얻을 수 있습니다.
마지막으로 식(1)을 $t$에 대해 정리한 후 식(2)에 대입하면 시간을 포함하지 않는 $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$ ($a$가 일정한 경우)라는 관계식을 얻을 수 있습니다.
◎ 참고문헌
Raymond A. Serway, Chris Vuille. 『일반물리학 11판』. 일반물리학 교재편찬위원회(역). 북스힐, 2019.
