일차원에서의 운동처럼 물체가 $x$축과 같은 직선 경로를 따라 움직이는 경우가 아닌 일정한 가속도를 가지고 $x$, $y$의 두 방향으로 동시에 움직이는 경우가 이차원 운동에 해당합니다. 그중에서도 가장 특별한 경우는 포물체 운동이라고 볼 수 있습니다.
공중에 어떠한 물체를 던지게 되면 그 물체는 포물체 운동을 하게 됩니다. 이차원 포물선 운동에서 가장 중요한 사실은 수평 운동과 연직 운동이 완전히 독립적으로 일어난다는 것입니다. 즉, 한 방향의 운동이 다른 방향의 운동에 전혀 영향을 미치지 않는다는 것을 의미합니다.
일차원 운동에서 유도한 일정 가속도 방정식은 $x$방향, $y$방향 각각 적용됩니다. 또한 처음 속도에서 한 성분만을 가졌던 일차원 운동과 달리 이차원 운동에서는 처음 속도에서 두 성분을 가지게 됩니다.
포물체가 시각 $t=0$에서 처음 속도 $\overrightarrow{v_{0}}$로 원점에서 출발했다고 가정하고 속도 벡터가 수평면과 $\theta _{0} $의 각을 이룰 때, 이 각을 투사각이라 하며 $v_{0x}=v_{0}cos\theta _{0}$, $v_{0y}=v_{0}sin\theta _{0}$이 됩니다. 여기서 $v_{0x}$는 $x$방향의 처음 속도($t=0$일 때)이고, $v_{0y}$는 $y$방향의 처음 속도입니다.
일차원 운동에서의 일정 가속도 방정식을 이차원에도 적용하면 $a_{x}$가 일정할 때 $x$축 방향에 대한 식과 $a_{y}$가 일정할 때 $y$축 방향의 식을 얻을 수 있습니다.
$v_{x}=v_{0x}+a_{x}t$, $v_{y}=v_{0y}+a_{y}t$
$\Delta x =v_{0x}t+\frac{1}{2}a_{x}t^{2}$, $\Delta y =v_{0y}t+\frac{1}{2}a_{y}t^{2}$
$v_{x}^{2}=v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x$, $v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}+2a_{y}\Delta y$
여기서 $v_{0x}=v_{0}cos\theta _{0}$이고 $v_{0y}=v_{0}sin\theta _{0}$입니다.
물체의 속력 $v$는 피타고라스 정리를 통해 계산할 수 있으므로 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$
속도 벡터와 $x$축 사이의 각 $\theta = tan^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right)$가 됩니다.
여기서 역탄젠트의 함숫값은 $-90^{\circ}$~$+90^{\circ}$ 사이에 있으므로 2 사분면과 3 사분면에 있는 벡터의 경우는 $180^{\circ}$을 더해야 합니다.
또한 공기 저항을 무시할 수 있다고 가정하면 $x$ 방향의 가속도는 0이 됩니다. 따라서 $a_{x}=0$이고 포물체의 속도와 $x$ 방향 성분은 일정하다는 것을 의미합니다. $x$ 방향 속도 성분의 처음 값이 $v_{0x}=v_{0}cos\theta _{0}$이면 그 후 $v_{x}$의 값은 항상 동일합니다.
따라서 $v_{x}=v_{0x}=v_{0}cos\theta _{0}=$일정
또한 수평 뱡향의 변위 $\Delta x=v_{0x}t=(v_{0}cos\theta_0)t$로 나타낼 수 있습니다.
$y$ 방향의 운동에 대해서는 위에서 보았던 $y$에 관한 식에 $a_{y}=-g$, $v_{0x}=v_{0}cos\theta _{0}$를 대입하여 식을 얻을 수 있습니다.
$v_{y}=v_{0}sin\theta_{0}-gt$
$\Delta y=(v_{0}sin\theta_{0})t-\frac{1}{2}gt^{2}$
$v_{y}^{2}=(v_{0}sin\theta_{0})^{2}-2g\Delta y$
이를 통해 포물체 운동에 대해 정리하면
- 공기 저항을 무시할 수 있으면 가속도의 수평 성분이 없으므로 속도의 수평 성분 $v_{x}$는 일정합니다.
- 가속도의 연직성분은 자유낙하 가속도인 $-g$와 동일합니다.
- 속도의 연직성분 $v_{y}$와 $y$ 방향의 변위는 자유낙하의 경우와 동일합니다.
- 포물체 운동은 $x, y$ 방향의 독립적인 운동의 합성으로 정리될 수 있습니다.
상대속도
서로에 대해 운동하고 있는 서로 다른 두 관측자의 측정에 관련된 것을 상대속도라고 합니다. 측정된 물체의 속도는 물체에 대하여 운동하는 관측자의 속도에 의존합니다.
예를 들어, 고속도로에서 같은 방향과 속력으로 달리는 자동차들은 지면에 대해서는 고속으로 달리고 있지만 자동차들끼리는 상대적으로 운동하지 않습니다. 또한 길가에 정지해 있는 관측자가 보는 자동차는 시속 80km/h로 달리는 것처럼 보이지만, 같은 방향으로 50km/h로 달리는 자동차는 30km/h로 달리고 있는 것처럼 보입니.
이러한 속도 측정은 관측자의 기준틀에 따라 달라집니다. 여기서 기준틀이란 좌표계를 뜻하며 대부분은 지구에 대한 정지된 기준틀을 사용하지만, 때로는 지구에 대해 일정 속도로 운동하고 있는 자동차, 비행기 등과 같은 움직이는 기준틀을 사용하기도 합니다.
예를 들어 두 대의 자동차 A, B가 존재하고 지구에 대해 정지하고 있는 관측자를 C라 한다면
$\overrightarrow{r}_{AC}$ = 관측자 C가 측정한 자동차 A의 위치
$\overrightarrow{r}_{BC}$ = 관측자 C가 측정한 자동차 B의 위치
$\overrightarrow{r}_{AB}$ = 자동차 B에 있는 관측자가 측정한 자동차 A의 위치
$\overrightarrow{r}_{AC}$는 C에 대한 자동차 A의 위치 벡터가 되고 $\overrightarrow{r}_{BC}$는 C에 대한 자동차 B의 위치 벡터라고 할 수 있습니다. 이를 통해 $\overrightarrow{r}_{AB}=\overrightarrow{r}_{AC}-\overrightarrow{r}_{BC}$의 식을 얻을 수 있습니다.
또한 각 항의 시간 변화율을 통하여 속도 관계식을 얻을 수 있습니다. $\overrightarrow{v}_{AB}=\overrightarrow{v}_{AC}-\overrightarrow{v}_{BC}$
관측자인 C의 좌표계가 지구에 고정될 필요는 없습니다. 또한 특수 상대성 이론에 대하여, 빛의 속력과 비슷한 속력으로 여행하는 관측자에겐 이 식은 성립되지 않습니다.
◎ 참고문헌
Raymond A. Serway, Chris Vuille. 『일반물리학 11판』. 일반물리학 교재편찬위원회(역). 북스힐, 2019.
